📋 İçindekiler

  1. Markov Özelliği ve Geçiş Matrisi
  2. Durağan Dağılım (Steady-State) Hesabı
  3. Chapman-Kolmogorov ve n Adım Geçişi
  4. Durum Sınıflandırması
  5. M/M/1 Kuyruk Sistemine Geri Dönüş
  6. Jackson Ağları: Çok-Aşamalı Kuyruk
  7. Little Kanunu (L = λW)
  8. Açık ve Kapalı Kuyruk Ağları
  9. Vaka 1: GSM Operatörü Pazar Payı
  10. Vaka 2: Hastane Acil Servis Ağı
  11. Sonuç

1. Markov Özelliği ve Geçiş Matrisi

Markov özelliğinin kuralı: "Geleceği tahmin etmek için sadece şimdiki duruma bakmak yeterlidir — geçmişin hiçbir önemi yoktur" (Hafızasızlık / Memoryless property).

Kavram Tanım Notasyon
Durum (State) Sistemin olabileceği konum S = {s₁, s₂, ..., sₙ}
Geçiş Olasılığı Bir durumdan diğerine geçme olasılığı pij = P(Xn+1=j | Xn=i)
Geçiş Matrisi (P) Tüm geçiş olasılıklarının matrisi Her satır toplamı = 1
Durağan Dağılım (π) Uzun vadede sistem hangi durumda ne kadar zaman geçirir πP = π, Σπᵢ = 1

2. Durağan Dağılım (Steady-State) Hesabı

Örnek — GSM Operatörü: 2 operatör (A ve B), aylık müşteri geçişleri:

Geçiş Matrisi P:
          A'ya   B'ye
A'dan [ 0.80   0.20 ]
B'den [ 0.40   0.60 ]

Durağan dağılım: πP = π
πA = 0.80·πA + 0.40·πB    ...(1)
πB = 0.20·πA + 0.60·πB    ...(2)
πA + πB = 1    ...(3)

(1)'den: πA - 0.80·πA = 0.40·πB
0.20·πA = 0.40·πB → πA = 2·πB
(3)'e koy: 2·πB + πB = 1 → πB = 1/3

πA = 2/3 ≈ %66.7, πB = 1/3 ≈ %33.3

Başlangıç ne olursa olsun pazar A:%66.7, B:%33.3'e yakınsar!

3. Chapman-Kolmogorov ve n Adım Geçişi

n adım geçiş matrisi: P(n) = Pn (matrisi kendisiyle n kez çarp)

Başlangıç: A=%30, B=%70 → π⁰ = [0.30, 0.70]

1 ay sonra: π¹ = π⁰ · P = [0.30×0.80+0.70×0.40, 0.30×0.20+0.70×0.60]
= [0.24+0.28, 0.06+0.42] = [0.52, 0.48]

2 ay sonra: π² = π¹ · P = [0.52×0.80+0.48×0.40, 0.52×0.20+0.48×0.60]
= [0.416+0.192, 0.104+0.288] = [0.608, 0.392]

12 ay sonra: π¹² ≈ [0.667, 0.333] (durağan dağılıma yakınsadı)

4. Durum Sınıflandırması

Özellik Tanım Endüstriyel Anlam
Absorbing (Yutan) Girince çıkılamayan durum (pii=1) Makine hurda → geri dönüşü yok
Transient (Geçici) Tekrar dönülmeyebilecek durum Sistemden çıkış yolundaki ara durum
Recurrent (Tekrarlayan) Kesinlikle tekrar dönülecek durum Normal çalışma durumu
Ergodic Recurrent + aperiodic + irreducible Durağan dağılım var ve benzersiz

5. M/M/1 Kuyruk Sistemine Geri Dönüş

M/M/1 = Markov geliş / Markov servis / 1 sunucu

λ = geliş hızı (müşteri/saat), μ = servis hızı (müşteri/saat)
ρ = λ/μ (trafik yoğunluğu, ρ < 1 olmalı)

L = ρ/(1-ρ)    (sistemdeki ortalama müşteri)
Lq = ρ²/(1-ρ)    (kuyrukta bekleyen ortalama müşteri)
W = 1/(μ-λ)    (sistemdeki ortalama süre)
Wq = ρ/(μ-λ)    (kuyrukta bekleme süresi)

5.1 Hesaplama Örneği

Banka şubesi: λ = 20 müşteri/saat, μ = 25 müşteri/saat

ρ = 20/25 = 0.80 (%80 doluluk)
L = 0.80/(1-0.80) = 0.80/0.20 = 4 müşteri (sistemde)
Lq = 0.64/0.20 = 3.2 müşteri (kuyrukta)
W = 1/(25-20) = 1/5 = 0.20 saat = 12 dakika
Wq = 0.80/5 = 0.16 saat = 9.6 dakika (kuyruk bekleme)

İşlem süresi: W - Wq = 12 - 9.6 = 2.4 dakika. Bekleme/işlem oranı = 4:1!

6. Jackson Ağları: Çok-Aşamalı Kuyruk Sistemi

Gerçek hayatta kuyruklar tek başına değil, birbirine bağlı ağ halindedir. Jackson Ağı, açık kuyruk ağlarında her düğümün bağımsız M/M/c sistemi gibi analiz edilebileceğini gösterir.

Hastane örneği — 3 departman:

Dışarıdan geliş: Acil'e γ₁ = 30 hasta/saat
Acil → Röntgen: %40 | Acil → Kan Lab: %30 | Acil → Çıkış: %30
Röntgen → Acil (tekrar): %20 | Röntgen → Çıkış: %80
Kan Lab → Çıkış: %100

Trafik denklemleri:
λ₁ = γ₁ + 0.20·λ₂ = 30 + 0.20·λ₂    (Acil)
λ₂ = 0.40·λ₁    (Röntgen)
λ₃ = 0.30·λ₁    (Kan Laboratuvarı)

λ₂ = 0.40·λ₁ → (1)'e koy:
λ₁ = 30 + 0.20·(0.40·λ₁) = 30 + 0.08·λ₁
0.92·λ₁ = 30 → λ₁ = 32.6 hasta/saat
λ₂ = 0.40 × 32.6 = 13.04 hasta/saat
λ₃ = 0.30 × 32.6 = 9.78 hasta/saat

Her departman bu λ değerleriyle ayrı M/M/c olarak analiz edilir!

7. Little Kanunu (L = λW)

📐
Little Kanunu — Evrensel Fizik Kuralı:
L = λ · W

L = Sistemdeki ortalama öge sayısı
λ = Sisteme geliş hızı
W = Sistemde ortalama kalış süresi

Her kararlı (steady-state) sistem için geçerlidir — berber dükkanı, fabrika, hastane, internet sunucusu...

7.1 Uygulama Örnekleri

Sistem λ W L = λW
Fabrika (WIP) 10 ürün/ay 5 ay (üretim süresi) 50 WIP
Restoran 60 müşteri/saat 0.5 saat (yemek süresi) 30 müşteri (kapasite)
E-ticaret sipariş 1000 sipariş/gün 3 gün (teslimat) 3000 aktif sipariş
Müşteri destek 200 talep/gün 2 gün (çözüm süresi) 400 açık talep

8. Açık ve Kapalı Kuyruk Ağları

Özellik Açık Ağ (Open) Kapalı Ağ (Closed)
Müşteri/iş girişi Dışarıdan sürekli gelir Sabit N adet iş döngüde kalır
Çözüm Jackson ağı (bağımsız M/M/c) Gordon-Newell teoremi, MVA
Endüstriyel örnek Hastane, çağrı merkezi Esnek Üretim Sistemi (FMS), palet sistemi

9. Vaka Çalışması 1: GSM Operatörü Pazar Payı

📱 3 Operatör — 24 Aylık Pazar Payı Tahmini
3×3 Geçiş Matrisi:
       Turkcell  Vodafone  TürkTelekom
TC [ 0.85     0.10      0.05 ]
VF [ 0.15     0.75      0.10 ]
TT [ 0.10     0.08      0.82 ]

Durağan dağılım çözümü (πP=π + Σπ=1):
πTC ≈ %45.5, πVF ≈ %27.3, πTT ≈ %27.2

Turkcell'in müşteri tutma oranı (%85) en yüksek → pazar lideri kalır

10. Vaka Çalışması 2: Hastane Acil Servisi

🏥 Devlet Hastanesi — Acil Servis Kuyruk Ağı Optimizasyonu
Departman λ (hasta/saat) μ (hizmet hızı) Sunucu (c) ρ Wq (dk)
Triaj 40 15/sunucu 3 0.89 12.4
Muayene 36 6/sunucu 8 0.75 8.2
Röntgen 16 10/sunucu 2 0.80 16.0 ⚠️
Kan Lab 12 20/sunucu 1 0.60 4.5

Darboğaz: Röntgen (Wq = 16 dk). Çözüm: 3. cihaz eklenmesiyle Wq → 4.1 dk'ya düşer.

Little Kanunu doğrulaması: Toplam L = 40 × (45dk/60) = 30 hasta (acil serviste aynı anda)

11. Sonuç

🏁
Markov & Kuyruk Ağı Karar Rehberi:

📊 Durum geçişleri modellemek → Markov Zinciri + Geçiş Matrisi
⏳ Uzun vadeli denge → Durağan dağılım (πP=π) çöz
🏭 Tek kuyruk sistemi → M/M/1 veya M/M/c formülleri
🔗 Çok departmanlı sistem → Jackson Ağı (trafik denklemleri)
📐 Hızlı WIP/kapasite tahmini → Little Kanunu (L=λW)
🔄 Sabit iş sayısı sistemi → Kapalı kuyruk ağı (MVA)