📋 İçindekiler
- Oyun Teorisinin Temelleri
- Oyun Türleri
- Dominant Strateji Analizi
- Tutsak İkilemi (Prisoner's Dilemma)
- Nash Dengesi: Tanım ve Hesaplama
- Karma (Mixed) Strateji
- Sıfır Toplamlı Oyunlar ve Minimax
- Cournot Düopolü: Üretim Oyunu
- Bertrand Düopolü: Fiyat Savaşı
- Stackelberg: Lider-Takipçi Oyunu
- Vaka 1: Telekom Fiyat Savaşı
- Vaka 2: İhale Stratejisi
- Sonuç
1. Oyun Teorisinin Temelleri
Klasik Yöneylem (LP, NLP) genelde tek oyunculudur: "Kârımı nasıl maximize ederim" Ancak gerçek bir pazarda kararınız rakibin hamlesine bağlıdır. Oyun Teorisi, rasyonel karar alıcıların (oyuncuların) birbirleriyle etkileşimini matematiksel modelleyen bilim dalıdır.
| Bileşen | Tanım | Örnek |
|---|---|---|
| Oyuncular | Karar vericiler | Firma A, Firma B |
| Stratejiler | Her oyuncunun seçebileceği eylemler | Fiyat düşür, fiyat koru |
| Kazançlar (Payoffs) | Her strateji kombinasyonunun sonucu | Kâr/zarar tutarları |
| Bilgi | Oyuncuların bildiği/bilmediği | Tam bilgi, eksik bilgi |
| Sıralama | Eş zamanlı mı, sıralı mı | Eş zamanlı (Cournot), sıralı (Stackelberg) |
2. Oyun Türleri
| Kriter | Tür 1 | Tür 2 |
|---|---|---|
| İşbirliği | İşbirlikçi (koalisyon) oyunlar | İşbirliksiz (non-cooperative) oyunlar |
| Kazanç Toplamı | Sıfır toplamlı (biri kazanınca diğeri kaybeder) | Sıfır toplamlı olmayan (win-win mümkün) |
| Sıralama | Eş zamanlı (simultaneous) | Sıralı (sequential) |
| Tekrar | Tek seferlik (one-shot) | Tekrarlanan (repeated) |
| Bilgi | Tam bilgi (complete) | Eksik bilgi (incomplete) |
3. Dominant Strateji Analizi
Dominant Strateji: Rakip ne yaparsa yapsın, sizin için HER ZAMAN en iyi olan strateji.
Dominated Strateji: Başka bir strateji tarafından HER DURUMDA geçilen (asla seçilmemesi gereken) strateji.
Dominated Strateji: Başka bir strateji tarafından HER DURUMDA geçilen (asla seçilmemesi gereken) strateji.
Örnek: İki firma reklam bütçesi kararı
| A \ B | B: Düşük Reklam | B: Yüksek Reklam |
|---|---|---|
| A: Düşük Reklam | (8, 8) | (2, 12) |
| A: Yüksek Reklam | (12, 2) | (5, 5) ← Nash |
A'nın analizi:
B düşük reklam yaparsa → A: düşük=8, yüksek=12 → Yüksek daha iyi
B yüksek reklam yaparsa → A: düşük=2, yüksek=5 → Yüksek daha iyi
"Yüksek Reklam" A için dominant strateji! (B için de simetrik)
→ Nash Dengesi: (Yüksek, Yüksek) = (5, 5)
İkisi de düşük yapsaydı (8,8) olurdu ama rasyonel akıl izin vermez — Tutsak İkilemi!
B düşük reklam yaparsa → A: düşük=8, yüksek=12 → Yüksek daha iyi
B yüksek reklam yaparsa → A: düşük=2, yüksek=5 → Yüksek daha iyi
"Yüksek Reklam" A için dominant strateji! (B için de simetrik)
→ Nash Dengesi: (Yüksek, Yüksek) = (5, 5)
İkisi de düşük yapsaydı (8,8) olurdu ama rasyonel akıl izin vermez — Tutsak İkilemi!
4. Tutsak İkilemi (Prisoner's Dilemma)
Polis iki banka soyguncusunu ayrı odalarda sorgular:
| A \ B | B: Sessiz Kal | B: İtiraf Et |
|---|---|---|
| A: Sessiz Kal | (-1, -1) Ortak en iyi | (-10, 0) |
| A: İtiraf Et | (0, -10) | (-5, -5) Nash Dengesi |
"İtiraf" her iki oyuncu için de dominant strateji. Nash Dengesi (-5,-5), ama Pareto optimal çözüm (-1,-1). Bireysel rasyonellik ≠ Kolektif rasyonellik!
5. Nash Dengesi: Formal Tanım ve Hesaplama
Nash Dengesi (NE): Strateji profili (s₁*, s₂*) Nash Dengesidir eğer ve sadece eğer:
u₁(s₁*, s₂*) ≥ u₁(s₁, s₂*) ∀s₁ ∈ S₁
u₂(s₁*, s₂*) ≥ u₂(s₁*, s₂) ∀s₂ ∈ S₂
Hiçbir oyuncu, diğerinin stratejisini sabit tutarak, tek taraflı sapma ile durumunu iyileştiremez.
u₁(s₁*, s₂*) ≥ u₁(s₁, s₂*) ∀s₁ ∈ S₁
u₂(s₁*, s₂*) ≥ u₂(s₁*, s₂) ∀s₂ ∈ S₂
Hiçbir oyuncu, diğerinin stratejisini sabit tutarak, tek taraflı sapma ile durumunu iyileştiremez.
5.1 Nash Dengesi Bulma (Altını Çizme Yöntemi)
| Firma A \ Firma B | B: Fiyat Düşür | B: Fiyat Koru | B: Fiyat Artır |
|---|---|---|---|
| A: Fiyat Düşür | (3, 3) | (8, 1) | (10, 0) |
| A: Fiyat Koru | (1, 8) | (5, 5) ← NE | (6, 2) |
| A: Fiyat Artır | (0, 10) | (2, 6) | (4, 4) |
Altını çizme yöntemi:
1. Her B sütunu için A'nın en iyi yanıtını bul (A'nın payoff'unu altını çiz)
2. Her A satırı için B'nin en iyi yanıtını bul (B'nin payoff'unu altını çiz)
3. İkisi de altı çizili olan hücre = Nash Dengesi
Sonuç: (Fiyat Koru, Fiyat Koru) = (5, 5) tek Nash Dengesi
1. Her B sütunu için A'nın en iyi yanıtını bul (A'nın payoff'unu altını çiz)
2. Her A satırı için B'nin en iyi yanıtını bul (B'nin payoff'unu altını çiz)
3. İkisi de altı çizili olan hücre = Nash Dengesi
Sonuç: (Fiyat Koru, Fiyat Koru) = (5, 5) tek Nash Dengesi
6. Karma (Mixed) Strateji Nash Dengesi
Bazı oyunlarda saf strateji Nash Dengesi yoktur — oyuncular rastgele strateji karıştırır:
| A \ B | B: Sol | B: Sağ |
|---|---|---|
| A: Yukarı | (3, 1) | (0, 2) |
| A: Aşağı | (1, 3) | (2, 0) |
A'nın karma stratejisi: p = P(Yukarı), 1-p = P(Aşağı)
B'nin Sol ve Sağ'dan beklenen kazancı eşit olmalı:
E[B|Sol] = E[B|Sağ]
1·p + 3·(1-p) = 2·p + 0·(1-p)
p + 3 - 3p = 2p
3 - 2p = 2p → 4p = 3 → p = 3/4
B'nin karma stratejisi: q = P(Sol), 1-q = P(Sağ)
3q + 0(1-q) = 1q + 2(1-q)
3q = q + 2 - 2q → 3q = -q + 2 → 4q = 2 → q = 1/2
Karma NE: A: (3/4 Yukarı, 1/4 Aşağı), B: (1/2 Sol, 1/2 Sağ)
Beklenen kazanç: A = 3×3/4×1/2 + 0 + 1×1/4×1/2 + 2×1/4×1/2 = 3/2
B'nin Sol ve Sağ'dan beklenen kazancı eşit olmalı:
E[B|Sol] = E[B|Sağ]
1·p + 3·(1-p) = 2·p + 0·(1-p)
p + 3 - 3p = 2p
3 - 2p = 2p → 4p = 3 → p = 3/4
B'nin karma stratejisi: q = P(Sol), 1-q = P(Sağ)
3q + 0(1-q) = 1q + 2(1-q)
3q = q + 2 - 2q → 3q = -q + 2 → 4q = 2 → q = 1/2
Karma NE: A: (3/4 Yukarı, 1/4 Aşağı), B: (1/2 Sol, 1/2 Sağ)
Beklenen kazanç: A = 3×3/4×1/2 + 0 + 1×1/4×1/2 + 2×1/4×1/2 = 3/2
7. Sıfır Toplamlı Oyunlar ve Minimax
Minimax Teoremi (Von Neumann):
Her sonlu, iki kişilik sıfır toplamlı oyun bir değere (value) sahiptir ve her oyuncunun bunu garanti eden optimal stratejisi vardır.
Maximin: A her satırdaki minimumu bulur → bunların maskimumunu seçer
Minimax: B her sütundaki maximumu bulur → bunların minimumunu seçer
Maximin = Minimax ise → Eyer Noktası (Saddle Point) var, saf strateji NE mevcut
Her sonlu, iki kişilik sıfır toplamlı oyun bir değere (value) sahiptir ve her oyuncunun bunu garanti eden optimal stratejisi vardır.
Maximin: A her satırdaki minimumu bulur → bunların maskimumunu seçer
Minimax: B her sütundaki maximumu bulur → bunların minimumunu seçer
Maximin = Minimax ise → Eyer Noktası (Saddle Point) var, saf strateji NE mevcut
8. Cournot Düopolü: Üretim Miktarı Oyunu
Model: 2 firma eş zamanlı üretim miktarı seçer
Talep: P = 100 - Q (Q = q₁ + q₂)
Maliyet: C(q) = 10q
Firma 1'in kâr fonksiyonu:
π₁ = (P - MC) × q₁ = (100 - q₁ - q₂ - 10) × q₁ = (90 - q₁ - q₂) × q₁
En iyi yanıt fonksiyonu (∂π₁/∂q₁ = 0):
90 - 2q₁ - q₂ = 0 → q₁* = (90 - q₂) / 2 = 45 - q₂/2
Simetri ile (q₁ = q₂ = q):
q = 45 - q/2 → 3q/2 = 45 → q* = 30
Q = 60, P = 40, π₁ = π₂ = (40-10)×30 = $900
Karşılaştırma: Tekel → q=45, P=55, π=$2,025 | Cournot → toplam π=$1,800
Talep: P = 100 - Q (Q = q₁ + q₂)
Maliyet: C(q) = 10q
Firma 1'in kâr fonksiyonu:
π₁ = (P - MC) × q₁ = (100 - q₁ - q₂ - 10) × q₁ = (90 - q₁ - q₂) × q₁
En iyi yanıt fonksiyonu (∂π₁/∂q₁ = 0):
90 - 2q₁ - q₂ = 0 → q₁* = (90 - q₂) / 2 = 45 - q₂/2
Simetri ile (q₁ = q₂ = q):
q = 45 - q/2 → 3q/2 = 45 → q* = 30
Q = 60, P = 40, π₁ = π₂ = (40-10)×30 = $900
Karşılaştırma: Tekel → q=45, P=55, π=$2,025 | Cournot → toplam π=$1,800
9. Bertrand Düopolü: Fiyat Savaşı
Model: 2 firma eş zamanlı FİYAT seçer (homojen ürün)
Mantık: Ben 1₺ daha ucuz satarsam tüm pazar benim!
→ Firma 1 fiyatı düşürür → Firma 2 daha da düşürür → ...
→ Fiyat Savaşı P = MC = 10₺'ye kadar sürer
Bertrand Paradoksu: Sadece 2 firma bile olsa, fiyat rekabeti sonucu kâr = 0!
(Tam rekabet sonucu — oligopol gibi davranmaz)
Çözüm: Ürün farklılaştırma, marka değeri, kapasite kısıtı (Edgeworth)
Mantık: Ben 1₺ daha ucuz satarsam tüm pazar benim!
→ Firma 1 fiyatı düşürür → Firma 2 daha da düşürür → ...
→ Fiyat Savaşı P = MC = 10₺'ye kadar sürer
Bertrand Paradoksu: Sadece 2 firma bile olsa, fiyat rekabeti sonucu kâr = 0!
(Tam rekabet sonucu — oligopol gibi davranmaz)
Çözüm: Ürün farklılaştırma, marka değeri, kapasite kısıtı (Edgeworth)
10. Stackelberg: Lider-Takipçi Oyunu
Model: Firma 1 (lider) ÖNCE üretim seçer, Firma 2 (takipçi) ONDANsonra seçer
Firma 2'nin en iyi yanıtı: q₂ = 45 - q₁/2 (Cournot'dakiyle aynı)
Firma 1 bunu BİLİR ve yerine koyar:
π₁ = (90 - q₁ - (45 - q₁/2)) × q₁ = (45 - q₁/2) × q₁
∂π₁/∂q₁ = 45 - q₁ = 0 → q₁* = 45 (lider)
q₂* = 45 - 45/2 = 22.5 (takipçi)
Q = 67.5, P = 32.5
π₁ = 22.5 × 45 = $1,012.5 (lider avantajı!)
π₂ = 22.5 × 22.5 = $506.25
Lider olmak büyük avantaj → ilk hamle avantajı (first mover advantage)
Firma 2'nin en iyi yanıtı: q₂ = 45 - q₁/2 (Cournot'dakiyle aynı)
Firma 1 bunu BİLİR ve yerine koyar:
π₁ = (90 - q₁ - (45 - q₁/2)) × q₁ = (45 - q₁/2) × q₁
∂π₁/∂q₁ = 45 - q₁ = 0 → q₁* = 45 (lider)
q₂* = 45 - 45/2 = 22.5 (takipçi)
Q = 67.5, P = 32.5
π₁ = 22.5 × 45 = $1,012.5 (lider avantajı!)
π₂ = 22.5 × 22.5 = $506.25
Lider olmak büyük avantaj → ilk hamle avantajı (first mover advantage)
11. Vaka Çalışması 1: Telekom Fiyat Savaşı
📱 Türk Telekom Piyasası — Üç Operatör Fiyat Rekabeti
| Bir Operatör \ Diğerleri | Fiyat Koru | Fiyat Düşür |
|---|---|---|
| Fiyat Koru | Stabil kâr (₺5B/çeyrek) | Müşteri kaybı (₺3B) |
| Fiyat Düşür | Müşteri kazanımı (₺7B) | Fiyat savaşı (₺2B) — hepsi kaybeder |
Nash Dengesi: (Fiyat Düşür, Fiyat Düşür) — çünkü dominant strateji. Sonuç: Hepsi ₺2B'ye düşer. Gerçek hayatta BTK regülasyonu ve zımni işbirliği (tacit collusion) ile fiyatlar belirli bir seviyede tutulur.
12. Vaka Çalışması 2: İhale Stratejisi
🏗️ Kamu İhalesi — Bayesian Oyun Yaklaşımı
Senaryo: 3 inşaat firması bir otoyol ihalesi için teklif veriyor. Her firma kendi maliyetini bilir ama rakiplerin maliyetini bilmez (eksik bilgi oyunu).
Birinci Fiyat Kapalı Teklif İhalesi:
Her firma bi teklif verir, en düşük teklif kazanır.
Optimal teklif stratejisi (n firma, uniform dağılım):
bi* = ci + (v̄ - ci) / n
ci = gerçek maliyet, v̄ = maliyet üst sınırı, n = firma sayısı
Firma sayısı arttıkça: Fiyat → maliyete yaklaşır (rekabet etkisi)
Firma sayısı azaldıkça: Fiyat → yüksek kâr marjı
Her firma bi teklif verir, en düşük teklif kazanır.
Optimal teklif stratejisi (n firma, uniform dağılım):
bi* = ci + (v̄ - ci) / n
ci = gerçek maliyet, v̄ = maliyet üst sınırı, n = firma sayısı
Firma sayısı arttıkça: Fiyat → maliyete yaklaşır (rekabet etkisi)
Firma sayısı azaldıkça: Fiyat → yüksek kâr marjı
13. Sonuç
Oyun Teorisi Karar Rehberi:
🎯 Rakip belli, eş zamanlı karar → Nash Dengesi ara
1️⃣ Sıfır toplamlı → Minimax / Maximin
🔄 Saf NE yoksa → Karma strateji hesapla
📊 Üretim miktarı rekabeti → Cournot modeli
💰 Fiyat rekabeti → Bertrand modeli
👑 Sıralı karar → Stackelberg (geri çıkarım)
🤝 İşbirliği mümkün mü → Shapley Değeri, Nash Pazarlığı
🔁 Tekrarlanan oyun → Tit-for-Tat, Folk Teoremi
🎯 Rakip belli, eş zamanlı karar → Nash Dengesi ara
1️⃣ Sıfır toplamlı → Minimax / Maximin
🔄 Saf NE yoksa → Karma strateji hesapla
📊 Üretim miktarı rekabeti → Cournot modeli
💰 Fiyat rekabeti → Bertrand modeli
👑 Sıralı karar → Stackelberg (geri çıkarım)
🤝 İşbirliği mümkün mü → Shapley Değeri, Nash Pazarlığı
🔁 Tekrarlanan oyun → Tit-for-Tat, Folk Teoremi